Question

16．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個焦點與短軸的兩端點的連線互相垂直，且此焦點和長軸上較近的端點距離為4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{6}$，則此橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{48}$+$\frac{{y}^{2}}{24}$=1．

Answer 1

分析 由題意可得b=c，a-c=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{6}$，又a²-c²=b²，解方程可得a，b的值，進而得到橢圓方程．

解答 解：一個焦點與短軸的兩端點的連線互相垂直，
即有焦點與短軸的兩端點構(gòu)成一個等腰直角三角形，
即有b=c，
又此焦點和長軸上較近的端點距離為4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{6}$，
即為a-c=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{6}$，
又a²-c²=b²，
解得a=4$\sqrt{3}$，b=c=2$\sqrt{6}$，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{48}$+$\frac{{y}^{2}}{24}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{48}$+$\frac{{y}^{2}}{24}$=1．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓方程的求法，注意運用方程的思想方法，屬于基礎(chǔ)題．