Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²+1，數(shù)列{b_n}滿足：b_n=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$，前n項(xiàng)和為T_n．設(shè)C_n=T_2n+1-T_n．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求證：數(shù)列{C_n}是單調(diào)遞減數(shù)列；
（3）若對n≥k時(shí)．總有C_n＜$\frac{16}{21}$成立．求自然數(shù)k的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列中Sn與a_n關(guān)系，先求出a_n，再由$_{n}=\frac{2}{{a}_{n}+1}$化簡求出b_n；
（2）由題意和（1）求出c_n，利用作差法證明結(jié)論成立；
（3）由（2）令n=1、2、3分別求出對應(yīng)的c_n，即可求出滿足條件的自然數(shù)k的最小值．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+1-[（n-1）²+1]=2n-1，
所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{2n-1，n≥2}\end{array}\right.$，
因?yàn)?_{n}=\frac{2}{{a}_{n}+1}$，所以$_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}，n=1}\\{\frac{1}{n}，n≥2}\end{array}\right.$；
證明（2）由（1）得，C_n=T_2n+1-T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n+1
=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}$，
所以c_n+1-c_n=$\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{-1}{（2n+3）（2n+2）}$＜0，
則c_n+1＜c_n成立，
所以數(shù)列{C_n}是單調(diào)遞減數(shù)列；
解：（3）由（2）知：C_n＜C_n-1＜…＜C₃＜C₂＜C₁，
當(dāng)n=1時(shí)，C₁=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}＞$$\frac{16}{21}$，
當(dāng)n=2時(shí)，C₂=$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$=$\frac{47}{60}＞\frac{16}{21}$，
當(dāng)n=3時(shí)，C₃=$\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}$$\frac{319}{420}＜\frac{320}{420}$=$\frac{16}{21}$，
當(dāng)n≥3時(shí)，C_n≤C₃＜$\frac{16}{21}$，
所以自然數(shù)k的最小值是3．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題，數(shù)列中Sn與a_n關(guān)系的應(yīng)用，考查化簡、計(jì)算能力，屬于中檔題．