Question

6．如圖|$\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為120°，$\overrightarrow{OC}$與$\overrightarrow{OA}$的夾角為30°，|$\overrightarrow{OC}$|=5，則$\overrightarrow{OC}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OB}$．（用$\overrightarrow{OA}和\overrightarrow{OB}$表示）

Answer 1

分析 以O為直角坐標原點，OA所在直線為x軸，建立直角坐標系求得A，B，C的坐標，設$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，利用向量坐標運算、向量基本定理解方程即可得出．

解答 解：如圖所示，建立直角坐標系．
由$\overrightarrow{OC}$與$\overrightarrow{OA}$的夾角為30°，|$\overrightarrow{OC}$|=5，可得C（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，$\frac{5}{2}$），
|$\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為120°，
可得B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），A（1，0），
設$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，
則（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，$\frac{5}{2}$）=m（1，0）+n（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
∴$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=m-$\frac{1}{2}$n，$\frac{5}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$n．
解得n=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，m=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．
∴$\overrightarrow{OC}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OB}$．
故答案為：$\frac{10\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OB}$．

點評 本題考查了向量坐標運算、向量基本定理，考查了計算能力，屬于基礎題．