Question

1．已知$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{y≤x}\\{y≤2-x}\end{array}\right.$，求z=$\frac{2y+4}{x+1}$的取值范圍．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用分式函數(shù)的性質(zhì)，以及斜率的幾何意義進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：則A（2，0），
z=$\frac{2y+4}{x+1}$=2•$\frac{y+2}{x+1}$，
設(shè)k=$\frac{y+2}{x+1}$，則k的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D（-1，-2）的斜率，
由圖象知OD的斜率最大，為k=$\frac{-2}{-1}=2$，
AD的斜率最小，為k=$\frac{0+2}{2+1}$=$\frac{2}{3}$，
即$\frac{2}{3}$≤k≤2，
則$\frac{4}{3}$≤2k≤4，
即$\frac{4}{3}$≤z≤4，
故z=$\frac{2y+4}{x+1}$的取值范圍是[$\frac{4}{3}$，4]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及直線斜率的求解，利用分式函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合斜率的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．