Question

12．若函數(shù)f（x）=|a^x+x²-xlna-m|-2，（a＞0且a≠1）有兩個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（-1，3）．

Answer 1

分析 令g（x）=a^x+x²-x•lna，先討論a＞1，0＜a＜1求出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而判斷函數(shù)g（x）的極小值，
再由y=|g（x）-m|-2有兩個(gè)零點(diǎn)，所以方程g（x）=m±2有2個(gè)根，而m+2＞m-2，所以m+2＞1且m-2＜1，即可得到m的取值范圍

解答 解：令g（x）=a^x+x²-x•lna，
g′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
①當(dāng)a＞1，x∈（0，+∞）時(shí)，lna＞0，a^x-1＞0，則g′（x）＞0，
即函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
因?yàn)閤∈（-∞，0）時(shí)，lna＞0，a^x-1＜0，
所以g′（x）＜0，
即函數(shù)g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減；
②因?yàn)楫?dāng)0＜a＜1時(shí)，x＞0，lna＜0，a^x-1＜0，
所以g′（x）＞0，
即函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
因?yàn)楫?dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，lna＜0，a^x-1＞0，
所以g′（x）＜0，
即函數(shù)g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減．
故：當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，g（x）在x＜0時(shí)遞減；g（x）在x＞0時(shí)遞增，
則x=0為g（x）的極小值點(diǎn)，且為最小值點(diǎn)，且最小值g（0）=1．
又函數(shù)f（x）=|g（x）-m|-2有兩個(gè)零點(diǎn)，所以方程g（x）=m±2有二個(gè)根，
而m+2＞m-2，所以m+2＞1且m-2＜1，
解得m∈（-1，3）
故答案為：（-1，3）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，以及學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力，屬中檔題