Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{e^x}{x}$的定義域為（0，+∞）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（Ⅱ）對任意x∈（0，+∞），不等式xf（x）＞-x²+λx-1恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的對數(shù)$f'（x）=\frac{{x{e^x}-{e^x}}}{x^2}$，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（I）當(dāng)m≥1時，當(dāng)0＜m＜1時，求出函數(shù)的最小值f（x）_min．
（II）對?x∈（0，+∞），不等式e^x+x²+1＞λx恒成立，轉(zhuǎn)化為λ的表達(dá)式，通過構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解最值，推出所求范圍．

解答 （本小題滿分13分）
解：$f'（x）=\frac{{x{e^x}-{e^x}}}{x^2}$，
令f'（x）＞0得x＞1，令f'（x）＜0得x＜1，
所以，函數(shù)f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，
（I）當(dāng)m≥1時，函數(shù)f（x）在[m，m+1]（m＞0）上是增函數(shù)．
所以$f{（x）_{min}}=f（m）=\frac{e^m}{m}$，
所以$f{（x）_{min}}=f（m）=\frac{e^m}{m}$，
當(dāng)0＜m＜1時，函數(shù)f（x）在[m，1]上是減函數(shù)，在[1，m+1]上是增函數(shù)，
所以，f（x）_min=f（1）=e，
（II）由題意，對?x∈（0，+∞），不等式e^x+x²+1＞λx恒成立，
即$\frac{e^x}{x}+x+\frac{1}{x}＞λ$恒成立．
令$g（x）=\frac{e^x}{x}+x+\frac{1}{x}$則$g'（x）=\frac{{（{{e^x}+x+1}）（{x-1}）}}{x^2}$，
由g'（x）＞0得x＞1，由g'（x）＜0得x＜1，
所以g（x）_min=g（1）=e+2，
所以λ＜e+2．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，閉區(qū)間的最值的求法，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．