Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，連接橢圓四個頂點形成的四邊形面積為4$\sqrt{2}$，求橢圓C的標準方程．

Answer 1

分析 由離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$及c²=a²-b²，得b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，再由2ab=4$\sqrt{2}$可求a，b，即可求橢圓C的標準方程．

解答 解：由離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
∵c²=a²-b²，∴b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
∵連接橢圓四個頂點形成的四邊形面積為4$\sqrt{2}$，
∴2ab=4$\sqrt{2}$，∴a=2，b=$\sqrt{2}$．
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

點評 該題考查橢圓的方程、性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，確定幾何量是關(guān)鍵．