Question

7．有下列四個說法：
①若函數(shù)f（x）=asinx+cosx（x∈R）的圖象關于直線x=$\frac{π}{6}$對稱，則a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
②已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（-2，m），若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為鈍角，則m＜1；
③當$\frac{5π}{2}$＜α＜$\frac{9π}{2}$時，函數(shù)f（x）=sinx-log_ax有三個零點；
④函數(shù)f（x）=xsinx在[-$\frac{π}{2}$，0]上單調遞減，在[0，$\frac{π}{2}$]上單調遞增．
其中正確的是①④（填上所有正確說法的序號）

Answer 1

分析 對4個選項分別進行判斷，即可得出結論．

解答 解：①函數(shù)f（x）=asinx+cosx=$\sqrt{1+{a}^{2}}$sin（x+θ），其中tanθ=$\frac{1}{a}$，∵其圖象關于直線x=$\frac{π}{6}$對稱，∴θ+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴θ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，∴tanθ=tan（kπ+$\frac{π}{3}$）=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$=$\frac{1}{a}$，∴a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，正確；
②已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（-2，m），$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為鈍角，則$\left\{\begin{array}{l}{-2+2m＜0}\\{m+4≠0}\end{array}\right.$，∴m＜1且m≠-4，不正確；
③當$\frac{5π}{2}$＜α＜$\frac{9π}{2}$時，a可以是負數(shù)，故函數(shù)f（x）=sinx-log_ax有三個零點不正確；
④f′（x）=sinx+cosx•x，f′（0）=0，當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f′（x）≥0，f（x）單調遞增；當x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時，f′（x）≤0，f（x）單調遞減，故正確．
故答案為：①④．

點評 本題考查的是命題的真假判斷與應用，綜合考查三角函數(shù)的圖象的對稱性，向量知識，考查利用導數(shù)確定函數(shù)的單調性，知識綜合性強．