Question

7．設S為復數集C的非空子集．如果
（1）S含有一個不等于0的數；
（2）?a，b∈S，a+b，a-b，ab∈S；
（3）?a，b∈S，且b≠0，$\frac{a}$∈S，那么就稱S是一個數域．
現有如下命題：
①如果S是一個數域，則0，1∈S；
②如果S是一個數域，那么S含有無限多個數；
③復數集是數域；
④S={a+b$\sqrt{2}$|a，b∈Q，}是數域；
⑤S={a+bi|a，b∈Z}是數域．
其中是真命題的有①②③④（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

分析 根據已知中數域的概念，逐一分析5個命題的真假，綜合討論結果，可得答案．

解答 解：由已知中（1）S含有一個不等于0的數；
（2）?a，b∈S，a+b，a-b，ab∈S；
（3）?a，b∈S，且b≠0，$\frac{a}$∈S，那么就稱S是一個數域．
令a=b≠0，
則a-b=0∈S；$\frac{a}$=1∈S，故①正確；
na∈S，n∈Z，故②正確；
復數集C滿足3個條件，故復數集是數域，故③正確；
S={a+b$\sqrt{2}$|a，b∈Q，}滿足3個條件，故S是數域，故④正確；
S={a+bi|a，b∈Z}不滿足條件（3），故S不是數域，故⑤錯誤；
故答案為：①②③④

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了數域的概念，正確理解數域的概念，是解答的關鍵．