Question

15．已知命題P：對任意實數x∈R都有（a²-1）x²+（a+1）x+1＞0恒成立，命題q：關于x的方程x²-ax+1=0有兩個不相等的實根．若p∨q為真，p∧q為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據二次函數恒成立的充要條件，我們可以求出命題p為真時，實數a的取值范圍，根據二次函數有實根的充要條件，我們可以求出命題q為真時，實數a的取值范圍，然后根據p∨q為真命題，p∧q為假命題，則命題p，q中一個為真一個為假，分類討論后，即可得到實數a的取值范圍．

解答 解：對任意實數x都有（a²-1）x²+（a+1）x+1＞0恒成立，
若a=1，則不等式等價為2x+1＞0，則不滿足條件．
若a=-1，則不等式等價為1＞0，則滿足條件．
若a≠±1，則等價為$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＞0}\\{△=（a+1）^{2}-4（{a}^{2}-1）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a＜-1}\\{3{a}^{2}-2a-5＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a＜-1}\\{-1＜a＜\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，即1＜a＜$\frac{5}{3}$
綜上1≤a＜$\frac{5}{3}$；
關于x的方程x²-ax+1=0有實數根?△=a²-4＞0，解得a＞2或a＜-2，
若p∨q為真命題，p∧q為假命題，即p真q假，或p假q真，
如果p真q假，則有$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜\frac{5}{3}}\\{-2≤a≤2}\end{array}\right.$，即1＜a≤2，
如果p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{5}{3}或a≤1}\\{a＞2或a＜-2}\end{array}\right.$，得a＞2或a＜-2，
綜上a＞1或a＜-2，
即實數a的取值范圍為（-∞，-2）∪（1，+∞）．

點評 本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，復合命題的真假，函數恒成立問題，其中判斷出命題p與命題q為真時，實數a的取值范圍，是解答本題的關鍵．