Question

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c．角A為銳角，且滿足3b=5asinB．
（1）求sin2A+cos²

B+C

2

的值；
（2）若a=

2

，△ABC的面積為

3

2

，求b，c．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）根據(jù)正弦定理將條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到sinA=

3

5

，然后利用倍角公式即可得到三角函數(shù)的值．
（2）根據(jù)三角形的面積公式，以及余弦定理，建立方程組解方程組即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵3b=5asinB．
∴由正弦定理可得3sinB=5sinAsinB．
∵sinB≠0，
∴sinA=

3

5

，
∵角A為銳角，
∴cosA=

4

5

．
則sin2A+cos²

B+C

2

=2sinAcosA+

1+cos(B+C)

2

═2sinAcosA+

1

2

-cosA=2×

3

5

×

4

5

+

1

2

-

1

2

×

4

5

=

53

50

．
（2）若a=

2

，△ABC的面積為

3

2

，
則

1

2

bcsinA=

1

2

bc×

3

5

=

3

2

，
即bc=5
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
即2=b2+c2-2×5×

4

5

，
∴b²+c²=10，解得b=c=

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值，利用正弦定理，余弦定理以及三角形的面積公式，建立方程組是解決本題的關(guān)鍵．