Question

17．函數(shù)f（x）=$\frac{3•{5}^{x}-5•{3}^{x}}{{5}^{x+1}+{3}^{x+1}}$的值域為（-$\frac{5}{3}$，$\frac{3}{5}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質，利用轉化法結合（$\frac{5}{3}$）^x＞0，進行求解即可．

解答 解：y=f（x）=$\frac{3•{5}^{x}-5•{3}^{x}}{{5}^{x+1}+{3}^{x+1}}$=$\frac{3•（\frac{5}{3}）^{x}-5}{5•（\frac{5}{3}）^{x}+3}$，
得[5•（$\frac{5}{3}$）^x+3]y=3•（$\frac{5}{3}$）^x-5，
即5y•（$\frac{5}{3}$）^x+3y=3•（$\frac{5}{3}$）^x-5，
即（5y-3）（$\frac{5}{3}$）^x=-5-3y，
當5y-3=0時，y=$\frac{3}{5}$，此時方程不成立，
即y≠$\frac{3}{5}$，
則方程等價為（$\frac{5}{3}$）^x=$\frac{-5-3y}{5y-3}$=-$\frac{3y+5}{5y-3}$，
∵（$\frac{5}{3}$）^x=$\frac{-5-3y}{5y-3}$=-$\frac{3y+5}{5y-3}$＞0，
∴$\frac{3y+5}{5y-3}$＜0，得-$\frac{5}{3}$＜y＜$\frac{3}{5}$，
即函數(shù)的值域為（-$\frac{5}{3}$，$\frac{3}{5}$），
故答案為：（-$\frac{5}{3}$，$\frac{3}{5}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)值域的求解，根據(jù)分式函數(shù)的性質結合指數(shù)函數(shù)的性質是解決本題的關鍵．