Question

11．在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是AB、BC的中點，EF與BD交于點G，M為棱BB₁上一點．
（1）證明：EF∥平面 A₁C₁D；
（2）當(dāng)B₁M：MB的值為多少時，D₁M⊥平面 EFB₁，證明之；
（3）求點D到平面 EFB₁的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)EF∥AC、AC∥A₁C₁ 證得EF∥A₁C₁，再利用直線和平面平行的判定定理證得平面 EF∥A₁C₁D．
（2）當(dāng)B₁M：MB的值為1時，D₁M⊥平面 EFB₁ ．先證明B₁E⊥D₁M，再證明EF⊥D₁M，再結(jié)合EF∩B₁E=E，從而證得D₁M⊥平面 EFB₁ ．
（3）設(shè)點D到平面 EFB₁的距離為d，根據(jù)${V_{D={B_1}EF}}={V_{{B_1}=DEF}}$，求得d的值．

解答 解：（Ⅰ）∵E、F分別是AB、BC的中點，∴EF∥AC，又AC∥A₁C₁，
∴EF∥A₁C₁，而AC?平面 A₁C₁D，EF?平面 A₁C₁D，∴EF∥平面AC₁D₁．
（II）當(dāng)B₁M：MB=1時，D₁M⊥平面EFB₁，證明如下：
∵B₁M：MB=1，∴A₁M⊥B₁E．
又A₁D₁⊥平面AA₁BB₁，∴A₁D₁⊥B₁E，∴B₁E⊥平面A₁MD，∴B₁E⊥D₁M ①．
又EF⊥平面DD₁B₁B，∴EF⊥D₁M ②，又EF∩B₁E=E ③，
∴由①②③可得D₁M⊥平面EFB₁ ．
（ III）設(shè)點D到平面EFB₁的距離d，∵${V_{D={B_1}EF}}={V_{{B_1}=DEF}}$，
∴$\frac{1}{3}d•{S_{△{B_1}EF}}=\frac{1}{3}B{B_1}•{S_{△DEF}}$，即 $\frac{1}{3}•d$•（$\frac{1}{2}$•EF•B₁G ）=$\frac{1}{3}$•a•（$\frac{1}{2}$•EF•DG），即dB₁G=a•DG，
∴d=$\frac{DG}{{B}_{1}G}$•a=a．

點評 本題豬腰考查直線和平面平行的判定與性質(zhì)，直線和平面垂直的判定與性質(zhì)，用等體積法求點到平面的距離，屬于中檔題．