Question

3．已知兩個等差數(shù)列{a_n}和{b_n}的前n項和分別為A_n和B_n，且$\frac{{A}_{n}}{{B}_{n}}$=$\frac{5n+63}{n+3}$，則使得$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$為整數(shù)的個數(shù)是7．

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式進(jìn)行化簡即可．

解答 解：∵$\frac{An}{Bn}$=$\frac{\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}}{\frac{n（_{1}+_{n}）}{2}}$=$\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{_{1}+_{n}}$=$\frac{5n+63}{n+3}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{2{a}_{n}}{2_{n}}=\frac{{a}_{1}+{a}_{2n-1}}{_{1}+_{2n-1}}$=$\frac{5（2n-1）+63}{2n-1+3}$=$\frac{10n+58}{2n+2}$=$\frac{5n+29}{n+1}$=5+$\frac{24}{n+1}$．
∴要使$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$∈Z，只要$\frac{24}{n+1}$∈Z即可，
∴n+1為24的正約數(shù)，即2，3，4，6，8，12，24，共有7個．
故答案為：7．

點(diǎn)評 本題主要考查等差數(shù)列通項公式以及前n項和公式的應(yīng)用，利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．