Question

10．若曲線C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），曲線C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=acosϕ}\\{y=bsinϕ}\end{array}}\right.$（ϕ為參數(shù)），以O(shè)為極點，x的正半軸為極軸建立極坐標系，射線l：θ=α與C₁，C₂分別交于P，Q兩點，當α=0時，|PQ|=2，當$α=\frac{π}{2}$時，P與Q重合．
（Ⅰ）把C₁、C₂化為普通方程，并求a，b的值；
（Ⅱ）直線l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）與C₂交于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去參數(shù)，即可把C₁、C₂化為普通方程，當$α=\frac{π}{2}$時，P與Q重合，即可求a，b的值；
（Ⅱ）把直線l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）與C₂聯(lián)立，利用弦長公式直接求解|AB|．

解答 解：（Ⅰ）C₁：x²+y²=1，C₂：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
當α=0時，P（1，0），Q（a，0）∴|PQ|=a-1=2，a=3
當$α=\frac{π}{2}$時，P與Q重合，
∴b=1，C₂：$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$…．（5分）
（Ⅱ）把$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$代入$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$得 $5{t^2}-10\sqrt{2}t+1=0$
∴${t_1}+{t_2}=2\sqrt{2}$，${t_1}{t_2}=\frac{1}{5}$
∴|AB|=$|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$…（10分）

點評 本題考查參數(shù)方程與才的互化，參數(shù)方程的幾何意義，考查計算能力．