Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD是邊長為4的正三角形，M為PD的中點，底面ABCD是矩形，CD=3．   
（1）求異面直線PB與CM所成的角α的余弦值；
（2）求直線AC與平面PCM所成的角β的正切值．

Answer 1

分析 （1）可取AD中點O，BC中點N，并連接OP，ON，根據(jù)條件可以說明ON，OD，OP三直線兩兩垂直，從而分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可求出圖形上各點的坐標(biāo)，從而可求出向量$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{CM}$的坐標(biāo)，這樣根據(jù)cosα=$|cos＜\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{CM}＞|=\frac{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{CM}|}{|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{CM}|}$即可求出異面直線PB與CM所成的角α的余弦值；
（2）根據(jù)條件可以說明AM⊥平面PCM，從而得出$\overrightarrow{AM}$為平面PCM的一條法向量，可求出向量$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AM}$的坐標(biāo)，這樣根據(jù)$sinβ=|cos＜\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AM}＞|$求出sinβ，從而求出cosβ，從而得出tanβ的值．

解答 解：如圖，
取AD中點O，BC中點N，連接OP，ON，由題知OP⊥AD，ON⊥AD；
∵平面PAD⊥平面ABCD；
∴OP⊥平面ABCD，∴ON，OD，OP兩兩垂直；
因此可以O(shè)為原點，以O(shè)N，OD，OP三直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則：
A（0，-2，0），B（3，-2，0），C（3，2，0），$P（{0，0，2\sqrt{3}}）$，D（0，2，0），$M（{0，1，\sqrt{3}}）$；
∴（1）$\overrightarrow{PB}=（3，-2，-2\sqrt{3}），\overrightarrow{CM}=（-3，-1，\sqrt{3}）$；
∴$cosα=|cos＜\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{CM}＞|$=$\frac{|-9+2-6|}{\sqrt{25}•\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}}{5}$；
即異面直線PB與CM所成的角α的余弦值為$\frac{\sqrt{13}}{5}$；
（2）平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD；
∴CD⊥平面PAD，AM?平面PAD；
∴AM⊥CD，△PAD為正三角形，M為PD的中點；
∴AM⊥PD，PD∩CD=D；
∴AM⊥平面PCD，即AM⊥平面PCM；
∴$\overrightarrow{AM}=（0，3，\sqrt{3}）$為平面PCM的一條法向量；
又$\overrightarrow{AC}=（3，4，0）$；
∴$sinβ=|cos＜\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AM}＞|$=$\frac{12}{5•\sqrt{12}}=\frac{2\sqrt{3}}{5}$，∴$cosβ=\frac{\sqrt{13}}{5}$；
∴$tanβ=\frac{2\sqrt{39}}{13}$；
即直線AC與平面PCM所成的角β的正切值為$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．

點評 考查面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決空間角問題的方法，平面法向量的概念，清楚異面直線所成角和這兩直線的方向向量夾角的關(guān)系，直線與平面所成角和直線的方向向量與平面法向量夾角的關(guān)系．