Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+a的零點為x₀，曲線f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線為y=g（x）．
（1）證明：f（x）≤g（x）；
（2）若關于x的方程f（x）=a有兩個不等實根m，n，p為f（x）較大的零點，證明：|m-n|＜p-$\frac{1}{1-a}$．

Answer 1

分析 （1）求出導數(shù)，求得切線的斜率和方程，作差即可得證；
（2）求出零點和范圍，再由分析法，結合切線的斜率可得a的范圍，進而得到證明．

解答 證明：（1）由題意可得f（x₀）=0，
即有l(wèi)nx₀=ax₀-a，
f（x）=lnx-ax+a的導數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線斜率為$\frac{1}{{x}_{0}}$-a，
切線的方程為y-lnx₀+ax₀-a=（$\frac{1}{{x}_{0}}$-a）（x-x₀），
即為y=g（x）=（$\frac{1}{{x}_{0}}$-a）x+lnx₀+a-1，
由f（x）-g（x）=lnx-ax+a-（$\frac{1}{{x}_{0}}$-a）x-lnx₀-a+1
=lnx-lnx₀+1-$\frac{x}{{x}_{0}}$，
導數(shù)為$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{{x}_{0}-x}{x{x}_{0}}$，
當x＞x₀時，導數(shù)小于0，函數(shù)遞減；
當0＜x＜x₀時，導數(shù)大于0，函數(shù)遞增．
即有x=x₀時，取得極大值，也為最大值，且為0，
則f（x）-g（x）≤0，即f（x）≤g（x）；
（2）關于x的方程f（x）=a有兩個不等實根m，n，
即有l(wèi)nm=am，lnn=an，（m＜n），
設y=lnx與y=ax相切的切點為（t，lnt），可得$\frac{1}{t}$=a，lnt=at，
解得a=$\frac{1}{e}$，由題意可得f（x）=0有兩個實根，則0＜a＜$\frac{1}{e}$，
此時f（x）=0的較大的根為p（p＞5），且p＞n＞m，
要證|m-n|＜p-$\frac{1}{1-a}$，即證p-（n-m）＞$\frac{1}{1-a}$，
由$\frac{1}{1-a}$∈（1，$\frac{e}{e-1}$），p-（n-m）∈（5，+∞），
即有p-（n-m）＞$\frac{1}{1-a}$，故原不等式成立．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，考查不等式的證明，注意運用導數(shù)，判斷單調(diào)性，求最值和范圍，屬于中檔題．