Question

15．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{{x}^{m}}$，x∈（0，+∞），且f（3）=$\frac{8}{3}$．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）研究f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析 （1）利用x∈（0，+∞），可得函數(shù)非奇非偶；
（2）求出函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：（1）∵f（x）=x-$\frac{1}{{x}^{m}}$，x∈（0，+∞），且f（3）=$\frac{8}{3}$，
∴3-$\frac{1}{{3}^{m}}$=$\frac{8}{3}$，
∴m=1，
∴f（x）=x-$\frac{1}{x}$，
∵x∈（0，+∞），
∴函數(shù)非奇非偶；
（2）f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴x∈（0，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（0，1），單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，考查函數(shù)解析式的確定，屬于中檔題．