Question

6．將正奇數(shù)組成的數(shù)列{a_n}，按下表排成5列：

	第1列	第2列	第3列	第4列	第5列
第一行		1	3	5	7
第二行	15	13	11	9
第三行		17	19	21	23
第四行	…	…	27	25

（Ⅰ）求第五行到第十行的所有數(shù)的和；
（Ⅱ）已知點(diǎn)A₁（a₁，b₁），A₂（a₂，b₂），…，A_n（a_n，b_n）在指數(shù)函數(shù)y=2^x的圖象上，如果，以A₁，A₂，…，A_n為一個(gè)頂點(diǎn)，x軸y軸為鄰邊構(gòu)成的矩形面積為S₁，S₂，…S_n，求S₁+S₂+…+S_n的值T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因?yàn)閧a_n}為等差數(shù)列，故a_n=1+（n-1）×2=2n-1，第五行的第一個(gè)數(shù)為a₁₇=1+（17-1）×2=33，由此推出結(jié)論．
（Ⅱ）將點(diǎn)A_n（a_n，b_n）代入函數(shù)y=2^x，利用乘公比錯(cuò)位相減求得Tn

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閧a_n}為等差數(shù)列，故a_n=1+（n-1）×2=2n-1，第五行的第一個(gè)數(shù)為a₁₇=1+（17-1）×2=33
第十行的最后一個(gè)數(shù)為a₁₀=1+（40-1）×2=79，
故第五行到第十行的所有數(shù)字的和為33+35+…+79=$\frac{24（33+79）}{2}=1344$
（Ⅱ）因?yàn)锳_n（a_n，b_n）在函數(shù)y=2^x圖象上，故b_n=2a_n=2^2n-1，又因?yàn)閍_n=2n-1，故S₁=a₁b₁=2，S₂=a₂b₂=3×2³=24，S_n=a_nb_n=（2n-1）×2 ^2n-1，
所以${T}_{n}={S}_{1}+{S}_{2}+…+{S}_{n}=1×2+3×{2}^{3}$+…+（2n-1）×2^2n-1①
$4{T}_{n}=1×{2}^{3}+3×{2}^{5}+…+（2n-3）{2}^{2n-1}$+…+（2n-1）2^2n-3②
①-②得-3Tn=2+2（2³+2⁵+…+2^2n-1）-（2n-1）×2^2n-3
=2（2+（2+2³+2⁵+…+2^2n-1）-（2n-1）×2^2n-1
=$2\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}-2=（2n-1）{2}^{2n+1}$
=$（\frac{10}{3}-4n）×{4}^{n}-\frac{10}{3}$
故$Tn=（\frac{4n}{3}-\frac{10}{9}）×{4}^{n}+\frac{10}{9}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查乘公比錯(cuò)位相減的方法，屬于中檔題型，高考經(jīng)常涉及此考點(diǎn)．