Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，公差d≠0，且S₅=35，a₁、a₄、a₁₃成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{{2}^{n}-1}}$，試求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式即可得出；
（II）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）∵a₁、a₄、a₁₃成等比數(shù)列，
∴${a}_{4}^{2}={a}_{1}•{a}_{13}$，
∴$（{a}_{1}+3d）^{2}$=a₁•（a₁+12d），化為3d²-2a₁d=0，
∵d≠0，∴3d=2a₁．
∵S₅=35，
∴$5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}•d$=35，化為a₁+2d=7，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3d=2{a}_{1}}\\{{a}_{1}+2d=7}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=2}\end{array}\right.$．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（II）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{{2}^{n}}-1}$=$\frac{2n+1}{2×{2}^{n}+1-1}$=$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$．
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{5}{{2}^{3}}$+$\frac{7}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{3}{{2}^{3}}+\frac{5}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$+$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{2}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n+1}}$-$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$，
化為T_n=$\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}+\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．