Question

17．已知矩陣A=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{-1}&{4}\end{array}]$，向量$\overrightarrow{a}$=$[\begin{array}{l}{7}\\{4}\end{array}]$．
（1）求A的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；
（2）計(jì)算A⁵α的值．

Answer 1

分析 （1）通過令矩陣A的特征多項(xiàng)式為f（λ）=0，可得特征值，進(jìn)而可得對(duì)應(yīng)的特征向量；
（2）通過解方程組α=mα₁+nα₂，可得m=3，n=1，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（1）矩陣A的特征多項(xiàng)式為f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-1}&{-2}\\{1}&{λ-4}\end{array}|$=λ²-5λ+6=0，
解得：λ₁=2，λ₂=3，
當(dāng)λ₁=2時(shí)，得α₁=$[\begin{array}{l}{2}\\{1}\end{array}]$；
當(dāng)λ₂=3時(shí)，得α₂=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$；
（2）由α=mα₁+nα₂，可得：$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=7}\\{m+n=4}\end{array}\right.$，
解得m=3，n=1，
∴A⁵α=A⁵（3α₁+α₂）=3（A⁵α₁）+A⁵α₂
=3（${{λ}_{1}}^{5}$α₁）+${{λ}_{2}}^{5}$α₂
=3×2⁵$[\begin{array}{l}{2}\\{1}\end{array}]$+3⁵$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$
=$[\begin{array}{l}{435}\\{339}\end{array}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．