Question

13．已知函數(shù)f（x）=e^x（sinx+cosx）+a（a為常數(shù)）．
（Ⅰ）已知a=-3，求曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)0≤x≤π時(shí)，求f（x）的值域；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=（a²-a+10）e^x，若存在x₁，x₂∈[0，π]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜13-e${\;}^{\frac{π}{2}}$成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=0時(shí)的導(dǎo)數(shù)，再求出f（0），然后利用直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（Ⅱ）由原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得原函數(shù)的極大值點(diǎn)，得到函數(shù)的最大值，再求出端點(diǎn)值得答案；
（Ⅲ）由a²-a+10＞0，得g（x）在[0，π]上是增函數(shù)，從而求得g（x）的值域．由題意得到${a}^{2}-a+10-（{e}^{\frac{π}{2}}+a）＜13-{e}^{\frac{π}{2}}$，求解關(guān)于a的不等式得答案．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x（sinx+cosx）+e^x（cosx-sinx）=2e^xcosx，
∴f′（0）=2，f（0）=-2，
∴切線方程為：y+2=2（x-0），即2x-y-2=0為所求的切線方程；
（Ⅱ）由f′（x）=2e^xcosx≥0，得0$≤x≤\frac{π}{2}$，f′（x）=2e^xcosx≤0，得$\frac{π}{2}≤x≤π$．
∴y=f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上單調(diào)遞增，在$[\frac{π}{2}，π]$上單調(diào)遞減．
∴${y}_{max}=f（\frac{π}{2}）={e}^{\frac{π}{2}}+a$．
f（0）=1+a，f（π）=-e^π+a＜f（0），${y}_{min}=f（π）=-{e}^{π}+a$，
∴f（x）的值域?yàn)?[-{e}^{π}+a，{e}^{\frac{π}{2}}+a]$；
（Ⅲ）∵a²-a+10＞0，∴g（x）在[0，π]上是增函數(shù)，
g（0）=a²-a+10，g（π）=（a²-a+10）e^π，
∴g（x）的值域?yàn)閇a²-a+10，（a²-a+10）e^π]．
∵${a}^{2}-a+10-（{e}^{\frac{π}{2}}+a）=（a-1）^{2}+（9-{e}^{\frac{π}{2}}）＞0$，
依題意，${a}^{2}-a+10-（{e}^{\frac{π}{2}}+a）＜13-{e}^{\frac{π}{2}}$，
即a²-2a-3＜0，解得：-1＜a＜3．

點(diǎn)評 本題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，是壓軸題．