Question

5．某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成2×2的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關”？
附表：

P（K2≥k）	0.100	0.010	0.001
k	2.706	6.635	10.828

${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，（其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 根據(jù)分層抽樣原理，求出樣本中25周歲以上與25周歲以下組工人數(shù)，計算對應的生產(chǎn)能手數(shù)，列出2×2列聯(lián)表，計算K²值，對照數(shù)表得出結論．

解答 解：根據(jù)分層抽樣原理，得；
樣本中有25周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人40名，
由頻率分布直方圖知，在抽取的100名工人中，
“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手60×0.25=15（人），
“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手40×0.375=15（人），
據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：

	生產(chǎn)能手	非生產(chǎn)能手	合計
25周歲以上組	15	45	60
25周歲以下組	15	25	40
合計	30	70	100

所以得：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{100{×（15×25-15×45）}^{2}}{60×40×30×70}$=$\frac{25}{14}$≈1.79；
因為1.79＜2.706，所以沒有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關”．

點評 本題考查了頻率分布直方圖的應用問題，也考查了分層抽樣方法的應用問題，考查了2×2列聯(lián)表的應用問題，是基礎題目．