Question

14．設(shè)橢圓方程為x²+$\frac{y^2}{4}$=1，過點M（0，1）的直線L交橢圓于點A、B，O為坐標(biāo)原點，點P滿足$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，當(dāng)L繞點M旋轉(zhuǎn)時，求
（1）當(dāng)L的斜率為1時，求三角形ABC的面積；
（2）動點P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）l：y=x+1，代入x²+$\frac{y^2}{4}$=1，求出A，B的坐標(biāo)，即可求出三角形ABO的面積．
（2）設(shè)出直線l的方程，A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達定理表示出x₁+x₂，利用直線方程表示出y₁+y₂，然后利用$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$求得$\overrightarrow{OP}$的坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)，然后聯(lián)立方程消去參數(shù)k求得x和y的關(guān)系式，P點軌跡可得．

解答 解：（1）l：y=x+1，代入x²+$\frac{y^2}{4}$=1，
整理得5x²+2x-3=0，∴x=-1或$\frac{3}{5}$
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|x₁-x₂|=$\frac{8}{5}$，
∴三角形ABO的面積S=$\frac{1}{2}×1×\frac{8}{5}$=$\frac{4}{5}$；
（2）設(shè)P（x，y）是所求軌跡上的任一點，
①當(dāng)斜率存在時，直線l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
橢圓：4x²+y²-4=0
由直線l：y=kx+1代入橢圓方程得到：（4+k²）x²+2kx-3=0，
x₁+x₂=-$\frac{2k}{4+{k}^{2}}$，y₁+y₂=$\frac{8}{4+{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$得：（x，y）=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂，y₁+y₂），
即：x=-$\frac{k}{4+{k}^{2}}$，y=$\frac{4}{4+{k}^{2}}$
消去k得：4x²+y²-y=0
當(dāng)斜率不存在時，AB的中點為坐標(biāo)原點，也適合方程
所以動點P的軌跡方程為：4x²+y²-y=0．

點評 本小題主要考查平面向量的概念、直線方程的求法、橢圓的方程和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，以及軌跡的求法與應(yīng)用、曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力．