Question

7．己知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（1-mx），x≥0}\\{x（1+mx），x＜0}\end{array}\right.$，若關(guān)于x不等式f（x）＞f（x-m）的解集為M，且[-1，1]⊆M，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，$\sqrt{2}$-1）．

Answer 1

分析 由題意可得，在[-1，1]上，函數(shù)y=f（x-m）的圖象應(yīng)在函數(shù)y=f（x）的圖象的下方，當(dāng)m=0時(shí)，

解答 解：由于f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-m{x}^{2}+x，x≥0}\\{m{x}^{2}+x，x＜0}\end{array}\right.$
關(guān)于x的不等式f（x）＞f（x-m） 的解集為 M
而[-1，1]∈M 
則在[-1，1]上，函數(shù)y=f（x-m）的圖象應(yīng)在函數(shù) y=f（x）的圖象的下方
①當(dāng)m=0時(shí)，顯然不滿足條件
②當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x-m）的圖象是把函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移-m個(gè)單位得到的，
結(jié)合圖象可得不滿足函數(shù)y=f（x-m）的圖象在函數(shù) y=f（x）的圖象的下方
③當(dāng)m＞0時(shí)，如圖所示，要使在[-1，1]上，函數(shù)y=f（x-m）的圖象在函數(shù) y=f（x）的圖象的下方
只要f（-1-m）＜f（-1）即可，
即m（-1-m）²+（-1-m）＜m-1
化簡(jiǎn)可得m²+2m＜1
解得-$\sqrt{2}$-1＜m＜$\sqrt{2}$-1
故此時(shí)m的范圍為（0，$\sqrt{2}$-1）
故填（0，$\sqrt{2}$-1）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，屬于中檔題．