Question

8．設(shè)k是一個正整數(shù)，（1+$\frac{x}{k}$）⁵的展開式中第三項的系數(shù)為$\frac{5}{8}$，記函數(shù)y=x²與y=kx的圖象所圍成的陰影部分為Ω，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，則點（x，y）恰好落在陰影區(qū)域Ω內(nèi)的概率為（　　）

• A． $\frac{17}{96}$
• B． $\frac{5}{32}$
• C． $\frac{7}{48}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 先利用二項式定理求出k值，再利用積分求陰影部分的面積，那積分的上下限由求方程組得到．然后利用幾何概型的概率公式解答．

解答 解：根據(jù)題意得${C}_{5}^{2}•（\frac{1}{k}）^{2}$=$\frac{5}{8}$，解得：k=4
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=4x}\end{array}\right.$，得：x=0或4
∴陰影部分的面積為${∫}_{0}^{4}（4x-{x}^{2}）dx$=$（2{x}^{1}-\frac{1}{3}{x}^{3}）{|}_{0}^{4}$=$\frac{32}{3}$，
任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，則點（x，y）對應 區(qū)域面積為4×16=64，
由幾何概型概率求法得點（x，y）恰好落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為$\frac{\frac{32}{3}}{64}$=$\frac{1}{6}$
故選：D．

點評 本題主要考查了定積分、二項式定理和幾何概型的概率求法，應用定積分求平面圖形面積時，積分變量的選取是至關(guān)重要的，屬于基礎(chǔ)題．