Question

13．設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）=$\frac{e^x}{{{x^2}+a}}$．
（1）若a=$\frac{5}{9}$，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值，證明：對(duì)于任意的${x_1}，{x_2}∈[\frac{1}{2}，\frac{3}{2}]$，|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{3-e}{3}\sqrt{e}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；
（2）由條件可得，$f'（\frac{1}{2}）$=0，求得a，進(jìn)而得到單調(diào)區(qū)間和極值，也為最值，即有任意兩個(gè)函數(shù)值的絕對(duì)值不大于最大值與最小值之差．

解答 （1）解：當(dāng)a=$\frac{5}{9}$，f'（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}+a-2x）}{（{x}^{2}+a）^{2}}$=$\frac{{e}^{x}[（x-1）^{2}-\frac{4}{9}]}{（{x}^{2}+\frac{5}{9}）^{2}}$．
令f'（x）＞0，即（x-1）²-$\frac{4}{9}$＞0，解得x＜$\frac{1}{3}$或x＞$\frac{5}{3}$．
令f'（x）＜0，解得$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{5}{3}$．
因此，因此，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{3}$），（$\frac{5}{3}$，+∞），
函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{3}$）；
（2）證明：當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值，即$f'（\frac{1}{2}）$=0，
∴（$\frac{1}{2}$）²+a-2×$\frac{1}{2}$=0，∴a=$\frac{3}{4}$．
同理由（1）易知，f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$），（$\frac{3}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
在（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）上單調(diào)遞減．
∴f（x）在x=$\frac{1}{2}$時(shí)取得極大值f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$．在x=$\frac{3}{2}$時(shí)取得極小值f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{e\sqrt{e}}{3}$，
∴在[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上，f（x）的最大值是f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$，最小值是f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{e\sqrt{e}}{3}$．
∴對(duì)于任意的x₁，x₂∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]，|f（x₁）-f（x₂）|≤$\sqrt{e}$-$\frac{e}{3}$$\sqrt{e}$，
即|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{3-e}{3}$$\sqrt{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時(shí)考查不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．