Question

8．函數(shù)$y=\frac{x+2}{{{x^2}+3x+6}}$的最大值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 令x+2=t，則x=t-2，（t＞0）；從而化簡(jiǎn)$y=\frac{x+2}{{{x^2}+3x+6}}$=$\frac{1}{t+\frac{4}{t}-1}$，利用基本不等式化簡(jiǎn)可得$\frac{1}{t+\frac{4}{t}-1}$≤$\frac{1}{3}$（當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{4}{t}$，即t=2，x=0時(shí)，等號(hào)成立）；從而得到答案．

解答 解：易知x²+3x+6＞0，故只需討論x+2＞0，
令x+2=t，則x=t-2，（t＞0）；
$y=\frac{x+2}{{{x^2}+3x+6}}$=$\frac{t}{（t-2）^{2}+3（t-2）+6}$=$\frac{t}{{t}^{2}-4t+4+3t}$=$\frac{1}{t+\frac{4}{t}-1}$，
∵t+$\frac{4}{t}$≥4，故t+$\frac{4}{t}$-1≥3，故$\frac{1}{t+\frac{4}{t}-1}$≤$\frac{1}{3}$，
（當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{4}{t}$，即t=2，x=0時(shí)，等號(hào)成立）；
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了換元法的應(yīng)用及基本不等式的化簡(jiǎn)與應(yīng)用．