Question

18．如圖，在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AH⊥BC于點(diǎn)H，M為AH的中點(diǎn)，若$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{BC}$，則λ+μ=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得$\overrightarrow{BH}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，從而由$\overrightarrow{AH}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BH}$，$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AH}$解得λ+μ．

解答 解：∵AB=2，∠ABC=60°，
∴BH=1，
∴$\overrightarrow{BH}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AH}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BH}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AH}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{BC}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{BC}$，
故λ=$\frac{1}{2}$，μ=$\frac{1}{6}$，故λ+μ=$\frac{2}{3}$；
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用及平面向量基本定理的應(yīng)用．