Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2lnx-k}{{e}^{x}}$（其中k∈R，e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）當(dāng)k=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若x∈[1，e]時(shí)，f′（x）=0都有解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出當(dāng)k=1時(shí)，f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（2）由f′（x）=0可得k=$\frac{2xlnx-2}{x}$，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得右邊函數(shù)的最值，即可得到k的范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{2lnx-1}{{e}^{x}}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{2-2xlnx+x}{x{e}^{x}}$（x＞0），
f′（1）=$\frac{3}{e}$，f（1）=-$\frac{1}{e}$，
在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+$\frac{1}{e}$=$\frac{3}{e}$（x-1），
即為y=$\frac{3}{e}$x-$\frac{4}{e}$；
（2）f′（x）=0，即$\frac{2-2xlnx+kx}{{e}^{x}}$=0，
即有k=$\frac{2xlnx-2}{x}$，
令F（x）=$\frac{2xlnx-2}{x}$，
由1≤x≤e，F(xiàn)′（x）=$\frac{2（x+1）}{{x}^{2}}$＞0，
可得F（x）在[1，e]遞增，
F（1）為最小值，且為-2；F（e）為最大值，且為2-$\frac{2}{e}$．
則k的取值范圍是[-2，2-$\frac{2}{e}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間及極值、最值，運(yùn)用分離參數(shù)和不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．