Question

18．已知函數(shù)f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），則a+4b的取值范圍是（　�。�

• A． （4，+∞）
• B． [4，+∞）
• C． （5，+∞）
• D． [5，+∞）

Answer 1

分析 由絕對值的含義將函數(shù)化成分段函數(shù)的形式，可得a＜b且f（a）=f（b）時，必有ab=1成立．利用基本不等式，算出a+4b≥4，結(jié)合題意知等號不能成立，由此運用導數(shù)判斷單調(diào)性，可得a+4b的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=|lgx|=$\left\{\begin{array}{l}{lgx，x≥1}\\{-lgx，0＜x＜1}\end{array}\right.$，
∴若a＜b，且f（a）=f（b）時，必定-lga=lgb，
可得ab=1，
∵a、b都是正數(shù)，0＜a＜1＜b，
∴a+4b=a+$\frac{4}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{4}{a}}$=4，
因為a=4b時等號成立，與0＜a＜b矛盾，所以等號不能成立．
∴a+4b＞4，
由a+$\frac{4}{a}$的導數(shù)為1-$\frac{4}{{a}^{2}}$＜0，可得在（0，1）遞減，
即有a+$\frac{4}{a}$＞5，
故選：C．

點評 本題考查了對數(shù)的運算法則、分段函數(shù)和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，同時考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，屬于中檔題和易錯題