Question

3．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ACC₁A₁⊥側(cè)面BB₁C₁C，AC⊥CC₁．
（1）求證：平面A₁BC₁⊥平面BB₁C₁C；
（2）若點M在棱AC上，且$\frac{AM}{MC}$=$\frac{2}{3}$，試問：在棱B₁C₁上是否存在一點N，使得直線MN∥平面ABB₁A₁？若存在，試確定點N的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AC⊥平面BB₁C₁C，從而A₁C₁⊥平面BB₁C₁C，由此能證明平面A₁BC₁⊥平面BB₁C₁C．
（2）過M作MO∥AB，交AB于O，過O作ON∥BB₁，交B₁C₁于N，N點即為所求點．

解答 證明：（1）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ACC₁A₁⊥側(cè)面BB₁C₁C，AC⊥CC₁，
∴AC⊥平面BB₁C₁C，
∵AC∥A₁C₁，
∴A₁C₁⊥平面BB₁C₁C，
∵A₁C₁?平面A₁BC₁，∴平面A₁BC₁⊥平面BB₁C₁C．
解：（2）過M作MO∥AB，交AB于O，過O作ON∥BB₁，交B₁C₁于N，N點即為所求點，
∵MO∥AB，ON∥BB₁，MO∩ON=O，
∴平面MON∥平面ABB₁A₁，
又MN?平面MON，
∴點N使得直線MN∥平面ABB₁A₁．
∵$\frac{AM}{MC}$=$\frac{2}{3}$，∴$\frac{BO}{OC}=\frac{{B}_{1}N}{N{C}_{1}}$=$\frac{2}{3}$．
∴棱B₁C₁上存在一點N，使得直線MN∥平面ABB₁A₁，且$\frac{{B}_{1}N}{N{C}_{1}}=\frac{2}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查使得線面平行的點的位置的確定，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．