Question

8．下列方程是否表示橢圓，若是，指出該橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（1）2x²+y²=1；
（2）$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=4；
（3）2x²+3y²=6；
（4）$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式，即可判斷（1），（2），（3）為橢圓方程，（4）為圓的方程，再分別求得a，b，c，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）2x²+y²=1為橢圓方程，
即為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}$+y²=1，a²=1，b²=$\frac{1}{2}$，c²=a²-b²=$\frac{1}{2}$，
即有焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，±$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；
（2）$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=4為橢圓方程，即為
$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，a²=12，b²=8，c²=a²-b²=4，
即有焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，±2）；
（3）2x²+3y²=6為橢圓方程，即為
$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，a²=3，b²=2，c²=a²-b²=1，
即有焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（±1，0）；
（4）$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1不表示橢圓，為圓的方程，
且圓心為（0，0），半徑為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，注意橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)式，屬于基礎(chǔ)題．