Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²-2|x-a|（a∈R）．
（I）當(dāng)a=0時，求方程f（x）=0的根；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，若對任意的x∈[0，+∞），不等式f（x-1）≥2f（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=0代入函數(shù)解析式，化為含有|x|的一元二次方程求解；
（Ⅱ）將不等式f（x-1）≥2f（x），化為（x-1）²-2|x-1-a|≥2x²-4|x-a|，即 4|x-a|-2|x-1-a|≥x²+2x-1對任意x∈[0，+∞）恒成立，對x討論：（1）當(dāng)0≤x≤a時，（2）當(dāng)a＜x≤a+1時，（3）當(dāng)x＞a+1時，去掉絕對值，由二次函數(shù)的最值求法，可得最大值，解不等式確定a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時，f（x）=x²-2|x|=|x|²-2|x|=0，
解得：|x|=0或|x|=2，即x=0或x=±2；
（Ⅱ）將不等式f（x-1）≥2f（x），
化為（x-1）²-2|x-1-a|≥2x²-4|x-a|，
即 4|x-a|-2|x-1-a|≥x²+2x-1（*）對任意x∈[0，+∞）恒成立，
（1）當(dāng)0≤x≤a 時，不等式（*）化為 x²+4x+1-2a≤0對0≤x≤a上恒成立，
g（x）=x²+4x+1-2a 在（0，a]為單調(diào)遞增，
只需g（x）_max=g（a）=a²+2a+1=（a+1）²≤0，得a=-1（舍）；                   
（2）當(dāng)a＜x≤a+1時，不等式（*）化為x²-4x+1+6a≤0對a＜x≤a+1上恒成立，
當(dāng)0＜$a≤\frac{3}{2}$時，只需h（x）_max=h（a）=a²+2a+1≤0，得：a=-1（舍），
當(dāng)a$＞\frac{3}{2}$時，只需h（x）_max=h（a+1）=a²+4a-2≤0，得$-2-\sqrt{6}≤a≤-2+\sqrt{6}$，與a$＞\frac{3}{2}$取交集，得a∈∅；
（3）當(dāng) x＞a+1時，不等式（*）化為x²+2a-3≤0對x＞a+1恒成立，
t（x）=x²+2a-3 在（a+1，+∞）單調(diào)遞增，不滿足x²+2a-3≤0對x＞a+1恒成立．
綜上所述得，a的取值范圍是∅．

點評 本題主要考查函數(shù)恒成立問題，涉及絕對值不等式求解，函數(shù)與方程的應(yīng)用，分段函數(shù)以及一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合性較強，難度較大．