Question

8．在△ABC中，若tanA=2，tanB=3，且AB=$\sqrt{2}$，則AC=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 利用三角形的內(nèi)角和以及兩角和的正切函數(shù)，求解角C的正切值，然后求解角的大小，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，求出B的正弦函數(shù)值，然后利用正弦定理通過(guò)AB=$\sqrt{2}$，即可求AC．

解答 解：（1）∵A+B+C=π，
∴tanC=-tan（A+B）
∵tanA=2，tanB=3，
tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{2+3}{1-6}$=-1，
∴tanC=1，
∵C是三角形的內(nèi)角．
∴C=$\frac{π}{4}$，
∵tanB=3，可得：sinB=3cosB，
而sin²B+cos²B=1，且B為銳角，可求得sinB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
所以在△ABC中，由正弦定理得，AC=$\frac{AB}{sinC}$×sinB=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查兩角和的正切公式，以及同角三角函數(shù)的應(yīng)用，并借助正弦定理考查邊角關(guān)系的運(yùn)算，對(duì)考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力有較高要求，屬于中檔題．