Question

13．如圖，拋物線y=ax²+2x-6與X軸交于點A（-6，0），B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，直線BD與拋物線交于點D，點D與點C關于該拋物線的對稱軸對稱．
（1）連接CD，求拋物線的解析式和線段CD的長度；
（2）在線段BD下方的拋物線上有一點P，過點P作PM∥x軸，PN∥y軸，分別交BD于點M，N，當△MPN的面積最大時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）代入A的坐標，可得a的值；分別求得B，C，求得對稱軸，可得D的坐標，求得CD的長；
（2）求出直線BD的方程，設出P的坐標，求得M，N的坐標，可得PM，PN的長，運用面積公式可得三角形PMN的面積，再由二次函數(shù)的最值的求法，可得最大值及此時P的坐標．

解答 解：（1）由A（-6，0），可得36a-12-6=0，
解得a=$\frac{1}{2}$，即有y=$\frac{1}{2}$x²+2x-6，
由y=0，可得x=-6或2，
即有B（2，0），C（0，-6），
拋物線的對稱軸為x=-2，
即有D（-4，-6），則CD的長度為4；
（2）直線BD的斜率為k=$\frac{0+6}{2+4}$=1，
直線BD的方程為y=x-2，
可令P（m，$\frac{1}{2}$m²+2m-6），-4＜m＜2，
將x=m代入直線BD方程可得y=m-2，
即有|PN|=|$\frac{1}{2}$m²+m-4|，
將y=$\frac{1}{2}$m²+2m-6代入直線BD的方程可得x=$\frac{1}{2}$m²+2m-4，
即有|PM|=|$\frac{1}{2}$m²+m-4|，
則△MPN的面積為S=$\frac{1}{2}$|PM|²=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$m²+m-4）²
=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$（m+1）²-$\frac{9}{2}$]²，-4＜m＜2，
當m=-1時，S=$\frac{81}{8}$，當m=-4或2時，S=0．
即有m=-1時，面積取得最大值，且為$\frac{81}{8}$．
此時P的坐標為（-1，-$\frac{15}{2}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，注意運用代入法，考查三角形的面積的最值的求法，注意運用直線方程和二次函數(shù)的最值求法，考查運算求解能力，屬于中檔題．