Question

13．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，給出下列命題：
①若A＞B＞C，則sinA＞sinB＞sinC；
②若$\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}=\frac{sinC}{c}$，則△ABC為等邊三角形；
③存在角A，B，C，使得tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立；
④若a=40，b=20，B=25°，則滿(mǎn)足條件的△ABC有兩個(gè)；
⑤若0＜tanAtanB＜1，則△ABC是鈍角三角形．
其中正確的命題為①④⑤（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①若A＞B＞C，可得a＞b＞c，再利用正弦定理即可判斷出正誤；
②由正弦定理可知：$\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}=\frac{sinC}{c}$恒成立，即可判斷出△ABC的形狀，即可判斷出正誤；
③由于當(dāng)C≠$\frac{π}{2}$時(shí)，-tanC=tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，化簡(jiǎn)整理即可判斷出正誤；
④若a=40，b=20，B=25°，則40sin25°＜40sin30°=20，可得滿(mǎn)足條件的△ABC有兩個(gè)，即可判斷出正誤；
⑤若0＜tanAtanB＜1，則-tanC=tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$＞0，可得tanC＜0，可得△ABC的形狀，即可判斷出正誤；．

解答 解：①若A＞B＞C，∴a＞b＞c，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，則sinA＞sinB＞sinC，正確；
②由正弦定理可知：$\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}=\frac{sinC}{c}$恒成立，則△ABC為任意三角形，不正確；
③由于當(dāng)C≠$\frac{π}{2}$時(shí)，-tanC=tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，∴tanA tanB tanC=tanA+tanB+tanC，因此不正確；
④若a=40，b=20，B=25°，則40sin25°＜40sin30°=20，因此滿(mǎn)足條件的△ABC有兩個(gè)，正確；
⑤若0＜tanA tanB＜1，則-tanC=tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$＞0，∴tanC＜0，C∈（0，π），∴$C∈（\frac{π}{2}，π）$，△ABC是鈍角三角形，正確．
綜上可得：正確的命題為：①④⑤．
故答案為：①④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、兩角和差的正切公式，考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．