Question

18．在平面直角坐標線中，以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立坐標系．已知直線與橢圓的極坐標方程分別為l：cosθ+2sinθ=0，C：ρ²=$\frac{4}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$．
（1）求直線與橢圓的直角坐標方程；
（2）若P是橢圓C上的一個動點，求P到直線l距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)極坐標和直角坐標的互化公式進行求解即可；
（2）利用平行線系，然后，借助于直線與圓相切，求解得到相應的最大值即可．

解答 解：（1）根據(jù)直線與橢圓的極坐標方程分別為l：cosθ+2sinθ=0，
直線的極坐標方程為l：cosθ+2sinθ=0，
ρcosθ+2ρsinθ=0，
∴x+2y=0，
根據(jù)橢圓的極坐標方程為ρ²=$\frac{4}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$．
∴ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=4，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
∴直線的直角坐標方程為：x+2y=0，
橢圓的直角坐標方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
（2）設與已知直線平行的直線方程為：x+2y+m=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+m=0}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
∴8y²+4my+m²-4=0．
∴△=8-m²=0
∴m=±2$\sqrt{2}$，
∴d=$\frac{|±2\sqrt{2}|}{\sqrt{1+{2}^{2}}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
∴P到直線l距離的最大值$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題重點考查了直線和橢圓的極坐標和直角坐標方程的互化、直線與橢圓的位置關系等知識，屬于中檔題．