Question

4．如圖，已知PA與⊙O相切，A為切點(diǎn)，PBC為割線，D為⊙O上一點(diǎn)，AD、BC相交于點(diǎn)E．
（1）若AD=AC，求證：AP∥CD；
（2）若F為CE上一點(diǎn)使得∠EDF=∠P，已知EF=1，EB=2，PB=4，求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由PA為圓的切線，AD為弦，利用弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角得到一對(duì)角相等，再由AD=AC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行即可得證；
（2）由已知角相等，加上對(duì)頂角相等，得到三角形PEF與三角形AEP相似，由相似得比例，再由AD與BC為圓的相交弦，利用相交弦定理列出關(guān)系式，求出EC的長(zhǎng)，再由切割線定理求出PA的長(zhǎng)即可．

解答 （1）證明：∵PA是⊙O的切線，AD是弦，
∴∠PAD=∠ACD．
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠PAD=∠ADC，
∴AP∥CD；
（2）解：∵∠EDF=∠P，又∠DEF=∠PEA，
∴△DEF∽△PEA，
∴$\frac{EF}{EA}$=$\frac{ED}{EP}$，即EF•EP=EA•ED，
∵AD、BC是⊙O的相交弦，
∴EC•EB=EA•ED，
∴EC•EB=EF•EP，
∴EC=$\frac{EF•EP}{EB}$=$\frac{{1×（{2+4}）}}{2}$=3．
由切割線定理有PA²=PB•PC=4×（3+2+4）=36，
則PA=6．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓的有關(guān)比例線段，涉及的知識(shí)有：切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及切割線定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．