Question

13．已知命題p：?x∈R，x²+mx+1≥0，命題q：雙曲線$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{m}$=1（m＞0）的離心率$e∈（\frac{{\sqrt{5}}}{2}，+∞）$．
（Ⅰ）寫出命題p的命題否定?p；并求出m的取值范圍，使得命題?p為真命題；
（Ⅱ）如果“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）?p：?x₀∈R，$x_0^2+m{x_0}+1＜0$，若?p為真命題，則△＞0，解出即可得出．
（II）p：若?x∈R，x²+mx+1≥0為真命題時，由△≤0，解出m的取值范圍．
q：雙曲線$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{m}=1$的離心率$e∈（\frac{{\sqrt{5}}}{2}，+∞）$為真命題時，則$\frac{\sqrt{2+m}}{\sqrt{2}}$$＞\frac{\sqrt{5}}{2}$．由“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，故命題p、q中有且僅有一個真命題，解出即可得出．

解答 解：（I）?p：?x₀∈R，$x_0^2+m{x_0}+1＜0$，
若?p為真命題，則△=m²-4＞0，解得：m＜-2，或m＞2
故所求實數(shù)m的取值范圍為：（-∞，-2）∪（2，+∞）．
（II）p：若?x∈R，x²+mx+1≥0為真命題時，由△=m²-4≤0m的取值范圍為-2≤m≤2．
q：雙曲線$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{m}=1$的離心率$e∈（\frac{{\sqrt{5}}}{2}，+∞）$為真命題時，則$m＞\frac{1}{2}$．
由“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，故命題p、q中有且僅有一個真命題，
當(dāng)p真q假時，實數(shù)m的取值范圍為：$[{-2，2}]∩（0，\frac{1}{2}]=（0，\frac{1}{2}]$．
當(dāng)p假q真時，實數(shù)m的取值范圍為：$[{（{-∞，-2}）∪（{2，+∞}）}]∩（{\frac{1}{2}，+∞}）=（{2，+∞}）$，
綜上可知實數(shù)m的取值范圍：$（0，\frac{1}{2}]∪（{2，+∞}）$．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、雙曲線的離心率、一元二次方程有實數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．