Question

3．已知直線l過橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$上任意一點A（x₁，y₁）（y₁≠0）且斜率為-$\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$，設(shè)原點到直線l的距離為d，點A到橢圓兩個焦點的距離分別為r₁、r₂，則$\sqrt{{r}_{1}•{r}_{2}}•d$=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 通過橢圓方程可知兩焦點F₁（-1，0）、F₂（1，0）、${{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=2$，利用點斜式可知直線l方程為$\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$x+y-$\frac{1}{{y}_{1}}$=0，利用點到直線的距離公式可知d=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+{{y}_{1}}^{2}}}$，利用兩點間距離公式計算可知r₁•r₂=1+${{y}_{1}}^{2}$，進而計算可得結(jié)論．

解答 解：由橢圓方程可知兩焦點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
設(shè)直線l方程為：y-y₁=-$\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$（x-x₁），
整理得：$\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$x+y-$\frac{1}{{y}_{1}}$=0，
則d=$\frac{|0+0-\frac{1}{{y}_{1}}|}{\sqrt{1+（\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+{{y}_{1}}^{2}}}$，
又∵r₁•r₂=$\sqrt{（{x}_{1}+1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$
=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+2{x}_{1}+1+{{y}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}+1+{{y}_{1}}^{2}}$
=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}（{{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}-2）+{{y}_{1}}^{4}+2{{y}_{1}}^{2}+1}$
=1+${{y}_{1}}^{2}$，
∴$\sqrt{{r}_{1}•{r}_{2}}•d$=$\sqrt{1+{{y}_{1}}^{2}}$•$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+{{y}_{1}}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．