Question

8．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，M，N分別為SA，CD的中點(diǎn)．
（I）證明：直線MN∥平面SBC；             
（Ⅱ）證明：平面SBD⊥平面SAC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取SB中點(diǎn)E，連接ME、CE，由三角形中位線定理、菱形性質(zhì)得四邊形MECN是平行四邊形，由此能證明直線MN∥平面SBC．
（Ⅱ）連接AC、BD，交于點(diǎn)O，由線面垂直得SA⊥BD，由菱形性質(zhì)得AC⊥BD，由此能證明平面SBD⊥平面SAC．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，取SB中點(diǎn)E，連接ME、CE，
因?yàn)镸為SA的中點(diǎn)，所以ME∥AB，且ME=$\frac{1}{2}AB$，…（2分）
因?yàn)镹為菱形ABCD邊CD的中點(diǎn)，
所以CN∥AB，且CN=$\frac{1}{2}AB$，…（3分）
所以ME∥CN，ME=CN，
所以四邊形MECN是平行四邊形，
所以MN∥EC，…（5分）
又因?yàn)镋C?平面SBC，MN?平面SBC，
所以直線MN∥平面SBC．…（6分）
（Ⅱ）證明：如圖，連接AC、BD，交于點(diǎn)O，
因?yàn)镾A⊥底面ABCD，所以SA⊥BD．…（7分）
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD．…（8分）
又SA∩AC=A，所以BD⊥平面SAC．…（10分）
又BD?平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAC．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．