Question

15．已知f（x）=x²-2x+2．
（1）若x∈[t，t+1]，求f（x）的最小值并用解析式g（t）表示；
（2）求g（t）在t∈[-2，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）求出二次函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為直線x=1，圖象開(kāi)口向上，分區(qū)間在對(duì)稱軸的左側(cè)、區(qū)間包含對(duì)稱軸、區(qū)間在對(duì)稱軸的右側(cè)三種情況，分別利用單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，即可得到g（t）的表達(dá)式．
（2）利用（1）的解析式，分類討論，即可求g（t）在t∈[-2，2]上的值域．

解答 解：（1）f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，所以，其圖象的對(duì)稱軸為直線x=1，且圖象開(kāi)口向上．
①當(dāng)t+1＜1，即t＜0時(shí)，f（x）在[t，t+1]上是減函數(shù)，所以g（t）=f（t+1）=t²+1；
②當(dāng)t≤1≤t+1，即0≤t≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在頂點(diǎn)處取得最小值，即g（t）=f（1）=1；
③當(dāng)t＞1時(shí)，f（x）在[t，t+1]上是增函數(shù)，
所以g（t）=f（t）=t²-2t+2．
綜上可得，g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+1，t＜0}\\{1，0≤t≤1}\\{{t}^{2}-2t+2，t＞1}\end{array}\right.$．
（2）t∈[-2，0），g（t）∈[1，5]；t∈[0，1]，g（t）=1；t∈（1，2]，g（t）∈[1，2]；
∴g（t）在t∈[-2，2]上的值域是[1，5]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，求函數(shù)的解析式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．