Question

20．設(shè)數(shù)列{a_n}共有n項(xiàng)（n≥3，n∈N^*），且a₁=a_n=1，對(duì)于每個(gè)i（1≤i≤n-1，n∈N^*）均有$\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$∈{$\frac{1}{3}$，1，3}．
（1）當(dāng)n=3時(shí)，滿足條件的所有數(shù)列{a_n}的個(gè)數(shù)為3；
（2）當(dāng)n=10時(shí)，滿足條件的所有數(shù)列{a_n}的個(gè)數(shù)為3139．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=3時(shí)，由$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$∈{$\frac{1}{3}$，1，3}，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$∈{$\frac{1}{3}$，1，3}．可得a₂∈{$\frac{1}{3}$，1，3}．$\frac{1}{{a}_{2}}$∈{$\frac{1}{3}$，1，3}．即可得出．
（2）令$_{i}=\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$（1≤i≤9），則對(duì)每個(gè)符合條件的數(shù)列{a_n}滿足條件，b₁b₂•…•b₉=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•$…$•\frac{{a}_{10}}{{a}_{9}}$=1，且b_i∈{$\frac{1}{3}$，1，3}．反之符合上述條件的9項(xiàng)數(shù)列{b_n}，可唯一確定一個(gè)符合條件的10項(xiàng)數(shù)列{a_n}．記符合條件的數(shù)列列{b_n}的個(gè)數(shù)為N，顯然b_i（1≤i≤9）中有k個(gè)3，k個(gè)$\frac{1}{3}$，9-2k個(gè)1．當(dāng)k給定時(shí)，{b_n}的取法有${∁}_{9}^{k}{∁}_{9-k}^{k}$種，易得k的可能值為0，1，2，3，4．即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)n=3時(shí)，∵$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$∈{$\frac{1}{3}$，1，3}，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$∈{$\frac{1}{3}$，1，3}．
∴a₂∈{$\frac{1}{3}$，1，3}．$\frac{1}{{a}_{2}}$∈{$\frac{1}{3}$，1，3}．
∴a₂=$\frac{1}{3}$或1或3．
∴滿足條件的所有數(shù)列{a_n}的個(gè)數(shù)為3個(gè)；
（2）令$_{i}=\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$（1≤i≤9），則對(duì)每個(gè)符合條件的數(shù)列{a_n}滿足條件，
b₁b₂•…•b₉=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•$…$•\frac{{a}_{10}}{{a}_{9}}$=1，且b_i∈{$\frac{1}{3}$，1，3}．
反之符合上述條件的9項(xiàng)數(shù)列{b_n}，可唯一確定一個(gè)符合條件的10項(xiàng)數(shù)列{a_n}．
記符合條件的數(shù)列列{b_n}的個(gè)數(shù)為N，
顯然b_i（1≤i≤9）中有k個(gè)3，k個(gè)$\frac{1}{3}$，9-2k個(gè)1
當(dāng)k給定時(shí)，{b_n}的取法有${∁}_{9}^{k}{∁}_{9-k}^{k}$種，易得k的可能值為0，1，2，3，4．
故N=1+${∁}_{9}^{1}{∁}_{8}^{1}$+${∁}_{9}^{2}{∁}_{7}^{2}$+${∁}_{9}^{3}{∁}_{6}^{3}$+${∁}_{9}^{4}{∁}_{5}^{4}$=3139．
∴滿足條件的所有數(shù)列{a_n}的個(gè)數(shù)為3139個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)、組合數(shù)的計(jì)算公式及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．