Question

4．已知數(shù)列{a_n}前n項和S_n，${a_n}=1-2{S_n}_{\;}（{n∈{N^*}}）$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若${b_n}={log_{\frac{1}{3}}}{a_{2n-1}}，{c_n}=\frac{{4{n^2}}}{{{b_n}{b_{n+1}}}}，{T_n}$為數(shù)列{c_n}的前n項和，求不超過T₂₀₁₆的最大的整數(shù)k．

Answer 1

分析 （I）由${a_n}=1-2{S_n}_{\;}（{n∈{N^*}}）$，可得a₁=1-2a₁，解得a₁，當n≥2時，a_n-1=1-2S_n-1，可得a_n-a_n-1=-2a_n，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）b_n=2n-1，c_n=$\frac{4{n}^{2}}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{4{n}^{2}}{（2n-1）（2n+1）}$=1+$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．利用“裂項求和”即可得出T_n．

解答 解：（I）∵${a_n}=1-2{S_n}_{\;}（{n∈{N^*}}）$，
∴a₁=1-2a₁，解得a₁=$\frac{1}{3}$，當n≥2時，a_n-1=1-2S_n-1，可得a_n-a_n-1=-2a_n，化為${a}_{n}=\frac{1}{3}{a}_{n-1}$．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為與公比都為$\frac{1}{3}$，可得a_n=$（\frac{1}{3}）^{n}$．
（II）b_n=$lo{g}_{\frac{1}{3}}（\frac{1}{3}）^{2n-1}$=2n-1，c_n=$\frac{4{n}^{2}}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{4{n}^{2}}{（2n-1）（2n+1）}$=1+$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=n+$\frac{1}{2}$×$[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=n+$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2n+1}$）=n+$\frac{n}{2n+1}$．
∴T₂₀₁₆=2016+$\frac{2016}{4033}$，
∴不超過T₂₀₁₆的最大的整數(shù)k=2016．

點評 本題考查了遞推關系、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．