Question

7．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P、Q分別在A₁B₁、C₁D₁上，且A₁P=2PB₁，C₁Q=2QD₁，則異面直線BP與DQ所成角的余弦值為$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線BP與DQ所成角的余弦值．

解答 解：設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為3，
以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），Q（0，1，3），B（3，3，0），P（3，2，3），
$\overrightarrow{BP}$=（0，-1，3），$\overrightarrow{DQ}$=（0，1，3），
設異面直線BP與DQ所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{DQ}|}{|\overrightarrow{BP}|•|\overrightarrow{DQ}|}$=$\frac{8}{\sqrt{10}•\sqrt{10}}$=$\frac{4}{5}$．
異面直線BP與DQ所成角的余弦值為$\frac{4}{5}$．
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．