Question

4．四棱錐A-BCDE，底面BCDE為梯形，EB∥DC，DC⊥平面ABC，AC=BC=EB=2DC，∠ACB=90°，AD與平面ABE所成角的正弦值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 利用線面、面面垂直的判定和性質(zhì)定理得到CQ⊥平面ABE，再利用DP∥CQ可證明DP⊥平面ABE，從而得到∠DAP是所求的線面角．

解答 解：設P，Q分別為AE，AB的中點，
則PQ∥EB，且EB=2PQ，
∴四邊形DCQP是平行四邊形，
∴DP∥CQ

設在△ABC中，AC=BC=2a，AQ=BQ，
∴CQ⊥AB．
而DC⊥平面ABC，EB∥DC，
∴EB⊥平面ABC．
而EB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面ABC，
∴CQ⊥平面ABE
∴DP⊥平面ABE，
∴直線AD在平面ABE內(nèi)的射影是AP，
∴直線AD與平面ABE所成角是∠DAP．
在Rt△APD中，AD=$\sqrt{{AC}^{2}+{DC}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
DP=CQ=2asin∠CAQ=2sin30°=a．
∴sin∠DAP=$\frac{DP}{AD}$=$\frac{a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故選：B．

點評 本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法．解題時要認真審題，合理地化空間問題為平面問題，注意空間思維能力和推理能力的培養(yǎng)