3.已知?jiǎng)狱c(diǎn)A在橢圓 C:$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$(a>b>0)上,動(dòng)點(diǎn)B在直線 x=-2上,且滿足 $\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),橢圓C上點(diǎn) $M(\frac{{\sqrt{3}}}{2},3)$到兩焦點(diǎn)距離之和為 4$\sqrt{3}$
(I)求橢圓C方程.
(Ⅱ)求|AB|取最小值時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo).

分析 (I)通過$\left\{\begin{array}{l}{2a=4\sqrt{3}}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$,計(jì)算即得結(jié)論;
(Ⅱ)通過設(shè)A(x0,y0),B(-2,t)(t∈R),利用 $\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$可得t=$\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}$,利用兩點(diǎn)間距離公式及基本不等式計(jì)算即得結(jié)論.

解答 解:(I)根據(jù)題意可得$\left\{\begin{array}{l}{2a=4\sqrt{3}}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$,
解得:a2=12,b2=3,
∴橢圓C方程為:$\frac{{y}^{2}}{12}+\frac{{x}^{2}}{3}=1$;
(Ⅱ)由題意可設(shè)A(x0,y0),B(-2,t)(t∈R),
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$,∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-2x0+ty0=0,即t=$\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}$,
∵動(dòng)點(diǎn)A在橢圓C上,∴$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{12}+\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}=1$,∴${{x}_{0}}^{2}$=3-$\frac{1}{4}$${{y}_{0}}^{2}$,
∴|AB|=$\sqrt{({x}_{0}+2)^{2}+({y}_{0}-t)^{2}}$
=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}+4+{{y}_{0}}^{2}-2t{y}_{0}+{t}^{2}}$
=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+\frac{4{{x}_{0}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}+4}$
=$\sqrt{6+\frac{3}{4}{{y}_{0}}^{2}+\frac{12}{{{y}_{0}}^{2}}}$$≥2\sqrt{3}$,
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3}{4}{{y}_{0}}^{2}$=$\frac{12}{{{y}_{0}}^{2}}$,即y0=±2時(shí),|AB|取最小值,
∵${{x}_{0}}^{2}$=3-$\frac{1}{4}$${{y}_{0}}^{2}$,∴x0=±$\sqrt{2}$,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為($\sqrt{2}$,-2),($\sqrt{2}$,2),(-$\sqrt{2}$,-2)或(-$\sqrt{2}$,2).

點(diǎn)評(píng) 本題考查求橢圓的方程,考查求線段的最小值,考查運(yùn)算求解能力,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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13.設(shè)拋物線C1:y2=4x的焦點(diǎn)為F,動(dòng)點(diǎn)D到點(diǎn)F的距離與到直線x=4的距離之比為$\frac{1}{2}$.
(1)求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C2的方程;
(2)過點(diǎn)F作直線l與曲線C2交于P、Q兩點(diǎn),A1,A2為C2與x軸的交點(diǎn),直線PA1,QA2相交于點(diǎn)M,直線PA2,QA1相交于點(diǎn)N,求證:MF⊥NF.

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14.已知函數(shù)f(x)(x∈R)是偶函數(shù),函數(shù)f(x-2)是奇函數(shù),且f(1)=1,則f(2015)=( 。
A.2015B.-2015C.1D.-1

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11.給出下列命題:①若$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$<0,則$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$的夾角為鈍角;②若$\overrightarrow a$=(x1,y1),$\overrightarrow b$=(x2,y2),則$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$?$\frac{x_1}{x_2}$=$\frac{y_1}{y_2}$;③若{${\overrightarrow a$,$\overrightarrow b$,$\overrightarrow c$}為空間的一組基底,則對(duì)于實(shí)數(shù)x、y、z滿足x$\overrightarrow a$+y$\overrightarrow b$+z$\overrightarrow c$=$\overrightarrow 0$時(shí),x2+y2+z2=0;④|$\overrightarrow p$+$\overrightarrow q$|•|$\overrightarrow p$-$\overrightarrow q$|=|${\overrightarrow p^2}$-${\overrightarrow q^2}$|;⑤$\overrightarrow p$在基底{$\overrightarrow i$,$\overrightarrow j$,$\overrightarrow k$}下的坐標(biāo)為(1,2,3),則在基底{$\overrightarrow i$+$\overrightarrow j$,$\overrightarrow j$+$\overrightarrow k$,$\overrightarrow k$+$\overrightarrow i$}下的坐標(biāo)為(0,2,1).
其中正確的是③⑤(把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上).

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18.已知△ABC中,cosA=$\frac{3}{5},cosB=\frac{4}{5}$,BC=4,則AB=(  )
A.5B.4C.3D.2

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8.已知實(shí)數(shù)x,y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$,則z=x-2y的最大值與最小值之差為3.

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15.已知△ABC是等邊三角形,有一點(diǎn)D滿足$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$,且|$\overrightarrow{CD}$|=$\sqrt{3}$,那么$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DC}$=3.

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16.某大學(xué)四年級(jí)某班共50人.其中男生30人.女生20人.畢業(yè)前每人必須寫一篇畢業(yè)論文,共50篇論文,若從50篇論文中,按照男女同學(xué)比例的方法共選出5篇進(jìn)行展出.
(1)求選出的論文中女生寫的論文的篇數(shù);
(2)從選出的5篇論文中,求取得的這一篇是女生論文的概率.

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