分析 (I)通過$\left\{\begin{array}{l}{2a=4\sqrt{3}}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$,計(jì)算即得結(jié)論;
(Ⅱ)通過設(shè)A(x0,y0),B(-2,t)(t∈R),利用 $\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$可得t=$\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}$,利用兩點(diǎn)間距離公式及基本不等式計(jì)算即得結(jié)論.
解答 解:(I)根據(jù)題意可得$\left\{\begin{array}{l}{2a=4\sqrt{3}}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$,
解得:a2=12,b2=3,
∴橢圓C方程為:$\frac{{y}^{2}}{12}+\frac{{x}^{2}}{3}=1$;
(Ⅱ)由題意可設(shè)A(x0,y0),B(-2,t)(t∈R),
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$,∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-2x0+ty0=0,即t=$\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}$,
∵動(dòng)點(diǎn)A在橢圓C上,∴$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{12}+\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}=1$,∴${{x}_{0}}^{2}$=3-$\frac{1}{4}$${{y}_{0}}^{2}$,
∴|AB|=$\sqrt{({x}_{0}+2)^{2}+({y}_{0}-t)^{2}}$
=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}+4+{{y}_{0}}^{2}-2t{y}_{0}+{t}^{2}}$
=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+\frac{4{{x}_{0}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}+4}$
=$\sqrt{6+\frac{3}{4}{{y}_{0}}^{2}+\frac{12}{{{y}_{0}}^{2}}}$$≥2\sqrt{3}$,
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3}{4}{{y}_{0}}^{2}$=$\frac{12}{{{y}_{0}}^{2}}$,即y0=±2時(shí),|AB|取最小值,
∵${{x}_{0}}^{2}$=3-$\frac{1}{4}$${{y}_{0}}^{2}$,∴x0=±$\sqrt{2}$,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為($\sqrt{2}$,-2),($\sqrt{2}$,2),(-$\sqrt{2}$,-2)或(-$\sqrt{2}$,2).
點(diǎn)評(píng) 本題考查求橢圓的方程,考查求線段的最小值,考查運(yùn)算求解能力,注意解題方法的積累,屬于中檔題.
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