Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且4a_n+2a_n+1-9a_na_n+1=1（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）由此猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式逐步求解即可．
（2）利用（1）猜想通項(xiàng)公式，然后；利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）由4a_n+2a_n+1-9a_na_n+1=1，得${a_{n+1}}=\frac{{4{a_n}-1}}{{9{a_n}-2}}$，…（2分）
因?yàn)閍₁=1，所以求得${a_2}=\frac{3}{7}$，${a_3}=\frac{5}{13}$，${a_4}=\frac{7}{19}$．…（5分）
（2）猜想${a_n}=\frac{2n-1}{6n-5}$，并用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：…（7分）
①由（1）知，當(dāng)n=1時，猜想成立．…（9分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時猜想成立，即${a_k}=\frac{2k-1}{6k-5}$，那么當(dāng)n=k+1時，
有${a_{k+1}}=\frac{{4{a_k}-1}}{{9{a_k}-2}}=\frac{{4×\frac{2k-1}{6k-5}-1}}{{9×\frac{2k-1}{6k-5}-2}}=\frac{2k+1}{6k+1}=\frac{2（k+1）-1}{6（k+1）-5}$
這就是說，當(dāng)n=k+1時，猜想也成立． …（14分）
綜合①和②可知，對任何n∈N^*，猜想成立． …（15分）

點(diǎn)評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．