Question

14．設(shè)a∈R，若x＞0時，均有（3ax-2）（x²-ax-2）≥0，則a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)y₁=3ax-2，y₂=x ²-ax-2，它們都過定點P（0，-2），函數(shù)y₂=x ²-ax-2，顯然過點M（$\frac{2}{3a}$，0），計算即可得到答案．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)y₁=3ax-2，y₂=x ²-ax-2，它們都過定點P（0，-2），
考查函數(shù)y₁=3ax-2，令y=0，得M（$\frac{2}{3a}$，0），∴a＞0；
考查函數(shù)y₂=x ²-ax-2，顯然過點M（$\frac{2}{3a}$，0），代入得：$\frac{4}{9{a}^{2}}$-$\frac{2}{3}$-2=0，
解之得：a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，或a=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$（舍去）．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$

點評 本題考查不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求解．在x＞0的整個區(qū)間上，我們可以將其分成兩個區(qū)間，在各自的區(qū)間內(nèi)恒正或恒負，即可得到結(jié)論